Question

【題目】如圖1，直角三角形ABC中，∠C＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°．

(1）求AB、AC的長；

(2）如圖2，將AB繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，將AC繞點A逆時針旋轉60°得到線段AD．

①連接CE，BD．求證：BD＝EC；

②連接DE交AB于F，請你作出符合題意的圖形并求出DE的長

Answer 1

【答案】（1）AB=2，AC=；（2）①證明見解析；②圖形見解析，DE=.

【解析】

（1）根據含30°角的直角三角形的性質求出AB，再利用勾股定理求出AC即可；

（2）①根據旋轉的性質得到AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°，再利用SAS證明△AEC≌△ABD，從而可得到結論；

②過點D作DM⊥AE，交EA的延長線于點M，可證明∠CAE=90°，從而求得∠DAM=30°，在Rt△ADM中利用含30°角的直角三角形的性質及勾股定理可求出DM、AM，最后在Rt△DME中利用勾股定理求出DE即可.

解：（1）∵∠C=90°，∠BAC=30°，且BC=1，

∴AB=2BC=2,

∴在Rt△ABC中，AC=;

（2）①證明：如圖所示：

由旋轉可得，AB=AE=2，AC=AD=，∠BAE=∠CAD=60°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴BD=EC；

②如圖所示，過點D作DM⊥AE，交EA的延長線于點M，

由旋轉可得，AB=AE=2，AC=AD=，∠BAE=∠CAD=60°，

∵∠BAC=30°，

∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=90°，

∴∠CAM=90°，

∴∠DAM=30°，

∴在Rt△ADM中，DM=AD=，AM=，

∴EM=AE+AM=2+=，

∴在Rt△DME中，DE=.