Question

如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．
某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發現：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線．請你畫一條的黃金分割線，使它不經過各邊黃金分割點．

Answer 1

（1）對，理由見解析（2）不可能（3）理由見解析（4）見解析

（1）直線是的黃金分割線．理由如下：
　　　設的邊上的高為．
　　　，，，
　　　所以，，．··············· 2分
　　　又因為點為邊的黃金分割點，所以有．因此．
　　　所以，直線是的黃金分割線．·············· 4分
　　�。�2）因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時，即
，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．········ 6分
（3）因為，所以和的公共邊上的高也相等，
所以有．························· 7分
　設直線與交于點．所以．
　所以
　，．
　又因為，所以．··········· 9分
　因此，直線也是的黃金分割線．··············· 10分
�。�4）畫法不惟一，現提供兩種畫法；·················· 12分

　畫法一：如答圖1，取的中點，再過點作一條直線分別交，于，點，則直線就是的黃金分割線．
　畫法二：如答圖2，在上取一點，連接，再過點作交于點，連接，則直線就是的黃金分割線．
（1）由于是同高，而點為邊的黃金分割點，則，所以，故直線是的黃金分割線
（2）只需判斷它們面積比是否相等，若相等則中線是三角形的黃金分割線，否則不是
（3）根據平行線間的距離相等，則，通過圖形面積的轉化，直線分三角形的圖形面積有，故直線也是的黃金分割線
（4）畫法不惟一，只需分成圖形面積比相等即可