Question

【題目】（2017廣東省深圳市）如圖，拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點C；

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；

（2）點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使？若存在請直接給出點D坐標；若不存在，請說明理由；

（3）將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交于另一點E，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D坐標為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）．

【解析】試題（1）由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由條件可求得點D到x軸的距離，即可求得D點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得D點坐標；

（3）由條件可證得BC⊥AC，設直線AC和BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，則可得BF=BC，利用平行線分線段成比例可求得F點的坐標，利用待定系數法可求得直線BE解析式，聯立直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標，則可求得BE的長．

試題解析：

（1）∵拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）由題意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，

∵，

∴S△ABD=×5=，

設D（x，y），

∴AB|y|=×5|y|=，

解得|y|=3，

當y=3時，由=3，解得x=1或x=2，此時D點坐標為（1，3）或（2，3）；

當y=﹣3時，由=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此時D點坐標為（5，﹣3）；

綜上可知存在滿足條件的點D，其坐標為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴AC= =，BC==，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，

如圖，設直線AC與直線BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，由題意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，

∴CF=BC=，

∴，即，解得OM=2，

，即，解得FM=6，

∴F（2，6），且B（4，0），

設直線BE解析式為y=kx+m，則可得：，解得：，

∴直線BE解析式為y=﹣3x+12，

聯立直線BE和拋物線解析式可得：，

解得：或，

∴E（5，﹣3），

∴BE= =．