Question

【題目】四邊形ABCD內接于⊙O，點E為AD上一點，連接AC，CB，∠B=∠AEC．
（1）如圖1，求證：CE=CD；

（2）如圖2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長CE交⊙O于點G，若tan∠BAC= ，EG=2，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O

∴∠B+∠D=180°，

∵∠B=∠AEC，

∴∠AEC+∠D=180°，

∵∠AEC+∠CED=180°，

∴∠D=∠CED，

∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

設∠ECH=α，由（1）CE=CD，

∴∠ECD=2α，

∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，

∴∠CAE+∠AEC=120°

∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，

∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，

∵∠ACD=2∠BAC，

∴∠BAC=30°+α，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．

（3）解：連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EM=MG= EG=1，

∴∠EAG=∠ECD=2α，

∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，

∵tan∠BAC= ，

∴設NG=5 m，可得AN=11m，AG= =14m，

∵∠ACG=60°，

∴CN=5m，AM=8 m，MG= =2m=1，

∴m= ，

∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3

∴AE= = =7．

【解析】（1）根據圓內接四邊形對角互補及平角的定義，得出∠B與∠D互補，∠AEC與∠CED互補，再根據等角的補角相等，得出∠D=∠CED，即可得出結論。
（2）作CH⊥DE于H．設∠ECH=α，先用含α的代數式分別表示出∠CAE和∠BAC，即可求得∠BAD的度數。
（3）連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先證明∠CAG=∠BAC，根據tan∠BAC的值，用含m的代數式分別表示出NG、AN、AG的長，再由∠ACG=60°，求出m的值，再根據勾股定理即可求得AE的長。
【考點精析】利用勾股定理的概念和圓內接四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．