Question

已知：點P為正方形ABCD內部一點，且∠BPC=90°，過點P的直線分別交邊AB、邊CD于點E、點F．
（1）如圖1，當PC=PB時，則S_△PBE、S_△PCF S_△BPC之間的數量關系為　_________　；
（2）如圖2，當PC=2PB時，求證：16S_△PBE+S_△PCF=4S_△BPG；
（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點，且∠PQF=90°，連接BD，BD交QF于點N，若S_△bpc=80，BE=6．求線段DN的長．

Answer 1

（1）S_△PBE+S_△PCF=S_△BPC；     （2）見解析    （3）DN=2或3

試題分析：（1）如圖1所示：過點P作PI⊥BC于點I，
∵PB=PC，
∴PI∥BE∥CF，
∴PI是梯形BCFE的中位線，
∴PI=（BE+CF），
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴PI=AB=CI，
∴S_△PBE+S_△PCF=BE•BI+CF•CI=BE×BC+CF•BC=BC（BE+CF）=BC•PI=S_△PBC；
故答案為：S_△PBE+S_△PCF=S_△BPC；
（2）如圖2，過點P作PG⊥EF交BC于點G，∠EPG=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠EPB+∠BPG=90°，
∵∠BPG+∠CPG=90°，
∴∠EPB=∠CPG，
同理，∵∠EBP+∠PBC=90°，∠PBC+∠BCP=90°，
∴∠EBP=∠BCP，
∴△EPB∽△GPC，
∵PC=2PB，
∴=（）²=
∴S_△GPC=4S_△EPB，
同理可得S_△FPC=4S_△GPB，
∵S_△PBG+S_△PGC=S_△BPC，
∴16S_△PBE+S_△PFC=4S_△BPC；
（3）如圖3，設正方形的邊長為a（a＞0），
∵∠BPC=90°，PC=2PB，S_△BPC=80，
∴••=80，解得a=20，
由（2）知，△EPB∽△GPC，
∴CG=2BE=12，
∴BG=8，
∴CF=16，DF=4，
過點P作PM∥AB交BC于點M．交AD于點H，過點P作PT⊥CD于T，
∵PM⊥BC，BC=20，S_△BPC=80，
∴PM=8，
∴PH=12，PT=16，FT=8，
∵∠PQF=90°，
∴由勾股定理得，（HQ²+HP²）+（DQ²+DF²）=PT²+TF²，即（16﹣DQ）²+12²+（DQ²+4²）=16²+8²，解得DQ=4或DQ=12，
當DQ=4時，
∵DQ=DF=4，∠PQF=90°，DN為∠QDF的角平分線，
∴DN=QD=2；
當DQ=12時，過點N作NN₁⊥QD于N₁，
∵∠QOF=90°，DN為∠QDF的角平分線，
∴∠QDN=45°，
∵NN₁⊥AD，
∴NN₁=N₁D，△QDF∽△QN₁N，
∴=，=，解得NN₁=3，
∴DN===3，
綜上所述，DN=2或3．

點評：本題考查的是相似形的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、正方形的性質、等腰三角形的性質及勾股定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出相似三角形，再利用相似三角形的性質進行解答．