Question

如圖，邊長為1的等邊△OAB，頂點A在x軸上，將△OAB繞點O順時針旋轉30°，使點A落在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線y=ax²的表達式；
（2）等邊△OAB繼續(xù)繞點O順時針旋轉，使點A再次落在拋物線y=ax²的圖象上．寫出這個點的坐標和最少旋轉的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）旋轉角為30°是特殊角，此時OA₁=OA=1，過A₁作x軸的垂線，解直角三角形可得A₁的坐標，再代入拋物線y=ax²可求解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，可猜想等邊△OAB繼續(xù)繞點O順時針旋轉，使點A再次落在拋物線y=ax²的圖象上時，OA與x軸負半軸夾角為30°，再次旋轉120°，此時點A與A₁關于y軸對稱．

解答：解：（1）∵△OAB繞點O順時針旋轉30°，A（1，0），則A₁（

3

2

，-

1

2

），
把x=

3

2

，y=-

1

2

代入y=ax²
得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x2．

（2）等邊△OAB繼續(xù)繞點O順時針旋轉，使點A再次落在拋物線y=ax²的圖象，這時旋轉后點A坐標為A₂（-

3

2

，-

1

2

），
旋轉角為∠A₂OA₁=120°．

點評：本題考查了坐標系里的旋轉問題，拋物線的對稱性問題，充分體現(xiàn)了形數(shù)結合的數(shù)學思想．