Question

如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內接菱形，現給出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三個命題：

命題（Ⅰ）：圖①中，若AH＝BG＝AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內接菱形；
命題（Ⅱ）：圖②中，若點E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內接菱形；
命題（Ⅲ）：圖③中，若EF垂直平分對角線AC，變BC于點E，交AD于點F，交AC于點O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內接菱形.
請解決下列問題：
小題1:命題（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命題嗎？請你在其中選擇一個，并證明它是真命題或假命題；
小題2:畫出一個新的矩形內接菱形（即與你在（1）中所確認的，但不全等的內接菱形）.
小題3:試探究比較圖①，②，③中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關系

Answer 1

小題1:都是真命題…………………………………………（1分）
若選（Ⅰ）證明如下：
∵矩形ABCD
∴AD//BC
∵AH＝BG
∴四邊形ABGH是平行四邊形
∴AB＝HG
∴AB＝HG＝AH＝BG
∴四邊形ABGH是菱形　………………………………………………………………（4分）
若選（Ⅱ），證明如下：
∵矩形ABCD　∴AB＝CD，AD＝BC
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵E、F、G、H是中點，
∴AE＝BE＝CG＝DG　AH＝HD＝BF＝FC
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四邊形　EFGH是菱形………………………………………………………………（4分）
若選（Ⅲ），證明如下
∵EF垂直平分AC
∴FA＝FC　EA＝EC
又∵矩形ABCD
　∴AD//BC　　∴∠FAC＝∠ECA
在△AOF和△COE中

∴△ADF≌△COE（BAS）
∴AF＝CE　∴AF＝FC＝CE＝EA
∴四邊形AECF是菱形………………………………………………………………（4分）
小題2:如圖所示…………………………………………………………………………（6分）
小題3:S_ABGH＝a²   S_EFGH＝　　　　…………………（9分）
（b>a）
∴

∴
∴當時即0<b＜2a　
　當a＝時　即b＝2a　
　當a＝＜時　即b＞a　
綜上所述：
當O＜b＜2a時    
當b＝2a時    
當b＞2a時    　　…………………………………（10分）

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；
（2）該題要考慮到O＜b＜2a、b＝2a、b＞2a三種情況，學生做題時往往考慮不周到。