Question

已知⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r（r＜R），且⊙P的圓心P在⊙O上．設C是⊙P上一點，過點C與⊙P相切的直線交⊙O于A、B兩點．
（1）若點C在線段OP上，（如圖1）．求證：PA•PB=2Rr；
（2）若點C不在線段OP上，但在⊙O內部如圖（2）．此時，（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，說明理由；
（3）若點C在⊙O的外部，如圖（3）．此時，PA•PB與R，r的關系又如何？請直接寫出，不要求給予證明或說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題很明顯是用射影定理來證明．延長PO交⊙O于點Q，連接AQ．根據射影定理有PA²=2Rr，根據垂徑定理，可知PA=PB，由此可得證；
（2）結果不變．連接PC，過P作圓O的直徑PQ，連接AQ，證△PCB∽△PAQ即可．
（3）結論不變，思路同（2）．

解答：（1）證明：延長PO交⊙O于點Q，
連接AQ，如圖（1），
∵AB與⊙P相切于點C，且PC是⊙P的半徑，
∴AB⊥PC，即∠PCB=90°．
又∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PAQ=90°．
∵∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽Rt△PCB，
∴

PA

PC

=

PQ

PB

，
即PA•PB=PQ•PC．
又∵PQ=2R，PC=r，
∴PA•PB=2Rr；

（2）解：（1）中的結論成立．
證明：連接PO并延長交⊙O于點Q，
連接AQ，PC，如圖（2），
由已知條件，得
∠PAQ=∠PCB=90°．
又∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽Rt△PCB，
∴

PA

PC

=

PQ

PB

，
即PA•PB=PQ•PC=2Rr；

（3）解：PA•PB=2Rr．

點評：本題考查了圓與圓的位置關系、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識點．