Question

【題目】（1）問題發現:如圖（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，連接AC，BD交于點M．①的值為　 　；②∠AMB的度數為　 　；

（2）類比探究 :如圖（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，交BD的延長線于點M．請計算的值及∠AMB的度數．

（3）拓展延伸:在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內旋轉，AC，BD所在直線交于點M．若OD＝1，OB＝，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．

Answer 1

【答案】（1）①1；②36°；（2）=，∠AMB=90°；（3）3或4 ．

【解析】

（1）①由∠AOB=∠COD推出∠COA=∠DOB，利用邊角邊即可證△COA與△DOB全等，即可求出結果；
②先證出∠CAO與∠DBO相等，分別加∠AOB，∠AMB，結果仍相等，即可得到∠AOB=∠AMB=36°；
（2）證明△DOB與△COA相似即可求出AC：BD的值，再通過對頂角相等及∠OBD=∠CAO即可證出∠AMB的度數為90°；
（3）分點M在直線OA的左側和右側兩種情況討論，利用相似三角形對應邊的比設未知數，在Rt△AMB中利用勾股定理構造方程即可求出AC的長．

解：（1）①∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
∴∠COA=∠DOB，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
故答案為：1；
②設AO與BD交于點E，
由①知，△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB+∠DBO=∠DEO，
∠AMB+∠CAO=∠DEO，
∴∠AOB=∠AMB=36°，
故答案為：36°；

（2）在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，
∴tan30°=，
∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
即∠DOB=∠COA，
∴△DOB∽△COA，
∴，
∠DBO=∠CAO，
∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，
∴∠CAO+∠MEA=90°，
∴∠AMB=90°，
∴=，∠AMB=90°；

（3）①如圖3-1，當點M在直線OB左側時，
在Rt△OCD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，
在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2，
由（2）知，∠AMB=90°，且=，
∴設BD=x，則AC=AM=x，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x+2）2=（2）2，
解得，x1=3，x2=-4（舍去），
∴AC=AM=3；

②如圖3-2，當點M在直線OB右側時，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x-2）2=（2）2，
解得，x1=4，x2=-3（舍去），
∴AC=AM=4，

綜上所述，AC的長為3或4 ．