Question

【題目】如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，AB＝3，點E、F在直線AB上，且∠ECF＝60°．

（1）求AC邊的長；

（2）如圖1，點E、F在線段AB上時，若EF＝AF，求證：BE＝EF；

（3）如圖2，F在AB上，E在AB的延長線上時，AF＝m，BE＝n，則n＝　 　（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）過點C作CD⊥AB于點D，由直角三角形的性質可得AB＝2CD，AC＝2CD，即可求AC的值；

（2）作點A關于直線CF的對稱點G，連接FG、CG、EG，由“SAS”可證△GCE≌△BCE，可得EG＝BE，∠B＝∠EGC，即可證△FEG為等邊三角形，可得結論；

（2）將△BCE繞點C順時針旋轉60°，得到△GCH，連接AG，過點H作DH⊥CG，由旋轉的性質可得BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°，通過證明△NCF∽△DCH，可得，即可求解．

（1）如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，

∵CA＝CB，∠ACB＝120°，

∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD

∴AC＝2CD，BD＝AD＝CD，

∵AB＝3，

∴AD+BD＝AB＝3＝2CD

∴CD＝

∴AC＝

（2）如圖1﹣1，作點A關于直線CF的對稱點G，連接FG、CG、EG，

∵G為點A關于直線CF的對稱點；

∴△ACF≌△GCF，

∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．

又∵AC＝BC，

∴CG＝CB，

∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，

∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，

∴∠ECG＝∠ECB，

在△GCE和△BCE中

∴△GCE≌△BCE（SAS），

∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，

∵∠ACB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°，

∴∠EGC+∠FGC＝60°，

又∵AF＝EF＝FG，

∴△FEG為等邊三角形，

∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．

（2）如圖2，將△BCE繞點C順時針旋轉60°，得到△GCH，連接AG，過點H作DH⊥CG，

∵將△BCE繞點C順時針旋轉60°，得到△GCH，

∴BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°

∴∠DGH＝180°﹣∠CGH＝30°，且DH⊥CG

∴DH＝GH＝，GD＝DH＝n，

∵∠ACB＝120°，∠BCG＝60°

∴∠ACG＝∠BCG＝60°，且AC＝BC

∴CG⊥AB，AN＝BN＝，CN＝

∴FN＝m﹣

∵∠CNF＝∠CDH＝90°，∠NCF＝∠DCH，

∴△NCF∽△DCH

∴

∴

∴n＝

故答案為：