Question

【題目】如圖，邊長為 7 的正方形 OABC 放置在平面直角坐標系中，動點 P 從點 C 出發，以 每秒 1 個單位的速度向 O 運動，點 Q 從點 O 同時出發，以每秒 1 個單位的速度向點 A 運動，到達端點即停止運動，運動時間為 t 秒，連 PQ、BP、BQ．

（1）寫出 B 點的坐標；

（2）填寫下表：

時間 t（單位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP 的長度
OQ 的長度
PQ 的長度
四邊形 OPBQ 的面積

①根據你所填數據，請描述線段 PQ 的長度的變化規律？并猜測 PQ 長度的最小值．

②根據你所填數據，請問四邊形 OPBQ 的面積是否會發生變化？并證明你的論斷；

（3）設點 M、N 分別是 BP、BQ 的中點，寫出點 M，N 的坐標，是否存在經過 M， N 兩點的反比例函數？如果存在，求出 t 的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（7，7）；（2）表格填寫見解析；①,PQ長度的最小值是；

②四邊形OPBQ的面積不會發生變化；（3）t=3.5存在經過M，N兩點的反比例函數.

【解析】

通過寫點的坐標，填表，搞清楚本題的基本數量關系，每個量的變化規律，然后進行猜想；用運動時間t，表示線段OP，OQ，CP，AQ的長度，運用割補法求四邊形OPBQ的面積，由中位線定理得點M（3.5，7-），N（，3.5），反比例函數圖象上點的坐標特點是 ，利用該等式求t值．

解：(1)∵在正方形 OABC中OA=OC=7

∴B（7，7）

(2)表格填寫如下：

①線段PQ的長度的變化規律是先減小再增大,PQ長度的最小值是 .理由如下：

在Rt△POQ中，OP=7-t，OQ=t

∴PQ2=(7-t)2+t2=2t2-14t+49=

∵

∴

∴當 時PQ2最取得最小值為

∴此時

②根據所填數據，四邊形OPBQ的面積不會發生變化；

∵=24.5，

∴四邊形OPBQ的面積不會發生變化.

(3)點M(3.5,7 ),N( ,3.5)，

當3.5(7)=×3.5時，則t=3.5，

∴當t=3.5存在經過M，N兩點的反比例函數.