Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB= ，∠CAD=30°．

（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OA，

∵sinB= ，

∴∠B=30°，

∠AOC=60°，

又∵OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°，

∴∠OAD=60°+30°=90°，

∴AD是⊙O的切線；

（2）

解：∵OC⊥AB，OC是半徑，

∴BE=AE，

∴OD是AB的垂直平分線，

∴∠DAE=60°，∠D=30°，

在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC= ，

∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5 ．

【解析】（1）連接OA，由于sinB= ，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．