Question

已知拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1（m為常數）．
（1）當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為Q，拋物線的頂點為P，試求經過O、P、Q三點的圓的圓心O′的坐標；
（3）設A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C，
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將（0，0）代入得m²-1=0，
∴m=±1．
當m=1時，y=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∴頂點是（-

1

2

，-

1

4

），不合題意，舍去；
當m=-1時，y=x²-3x=（x-

3

2

）²-

9

4

，
∴頂點是（

3

2

，-

9

4

）在第四象限，
∴所求函數關系式為y=x²-3x；

（2）求得點Q（3，0），而頂點P（

3

2

，-

9

4

），
由題意可知經過O、P、Q三點的圓的圓心O′在拋物線的對稱軸上，
連接O O′，則O O′=P O′，設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，O O′=a，
在Rt△O EO′中，OE=

3

2

，O′E=

9

4

-a，
由勾股定理得（

3

2

）²+（

9

4

-a）²=a²，
解得a=

13

8

，
∴O′E=

9

4

-

13

8

=

5

8

，
∴點O′（

3

2

，-

5

8

）；

（3）①當BC=1時，則BE=

1

2

，
∴OB=

3

2

-

1

2

=1，
當x=1時，y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周長=6；
②設點A（x，y），則OB=x，BE=

3

2

-x，
∴BC=2BE=3-2x，
∵y=x²-3x，
∴AB=3x-x²，
∴矩形ABCD的周長=2（3x-x²+3-2x）=-2（x-

1

2

）²+6

1

2

，
∴當x=

1

2

時，矩形ABCD的周長有最大值為6

1

2

，此時A（

1

2

，-

5

4

）．