Question

已知二次函數y＝x²＋ax＋a－2．

(1)求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點．

(2)設a＜0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式．

(3)若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)因為△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 　　所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點　　(2分) 　　(2)設x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的兩個根，則x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，因兩交點的距離是，所以　　(4分) 　　即：(x1－x2)2＝13 　　變形為：(x1＋x2)2－4x1·x2＝13　　(5分) 　　所以：(－a)2－4(a－2)＝13 　　整理得：(a－5)(a＋1)＝0 　　解方程得：a＝5或－1 　　又因為：a＜0 　　所以：a＝－1 　　所以：此二次函數的解析式為y＝x2―x―3　　(6分) 　　(3)設點P的坐標為(x0，y0)，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，所以：AB＝　　(8分) 　　所以：S△PAB＝ 　　所以： 　　即：|y0|＝3，則　　(10分) 　　當y0＝3時，，即(x0－3)(x0＋2)＝0 　　解此方程得：x0＝－2或3 　　當y0＝－3時，，即x0(x0－1)＝0 　　解此方程得：x0＝0或1　　(11分) 　　綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)　　(12分)