Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊AC上，DE⊥B于點E，連CE．
（1）如圖1，已知AC=BC，AD=2CD，

①△ADE與△ABC面積之比；
②求tan∠ECB的值；
（2）如圖2，已知 = =k，求tan∠ECB的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①作EH⊥AD于H，如圖1，設CD=x，則AD=2x，AC=BC=3x，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠A=45°，

而DE⊥AB，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AH=HDF=HE=x，

∴S△ADE= 2xx=x2，

∵S△ACB= 3x3x= x2，

∴ = = ；

②在Rt△CHE中，tan∠HEC= = =2，

∵HE∥BC，

∴∠BCE=∠HEC，

∴tan∠ECB=2；

（2）

解：作EH⊥AD于H，如圖2，設CD=a，

∵ = =k，

∴AD=ak，BC=kAC，

∴AC=（k+1）a，

∴BC=（k2+k）a，

∴AB= =（k+1） a，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，即 = ，解得AE= ，

∵HE∥BC，

∴△AHE∽△ACB，

∴ = = ，即 = = ，

∴AH= ，HE= ，

∴CH=AC﹣AH=（k+1）a﹣ = a，

∴tan∠HEC= = = ，

∵HE∥BC，

∴∠BCE=∠HEC，

∴tan∠ECB= ．

【解析】（1）①作EH⊥AD于H，如圖1，設CD=x，則AD=2x，AC=BC=3x，先證明△ADE為等腰直角三角形得到AH=HDF=HE=x，然后利用三角形面積公式計算出S△ADE和S△ACB ， 從而得到 的值；②在Rt△CHE中，利用正切的定義得到tan∠HEC=2，再證明∠BCE=∠HEC，所以tan∠ECB=2；（2）作EH⊥AD于H，如圖2，設CD=a，則AD=ak，BC=kAC，AC=（k+1）a，BC=（k2+k）a，利用勾股定理定理計算出AB=（k+1） a，再證明△ADE∽△ABC，利用相似比得到AE= ，接著證明△AHE∽△ACB，利用相似比可得到AH= ，HE= ，則CH= a，則根據正切定義得到tan∠HEC= = ，然后證明∠BCE=∠HEC，從而得到tan∠ECB的值．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質和相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．