Question

【題目】（2017浙江省寧波市）在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題，某學習小組受趙爽弦圖的啟發，編寫了下面這道題，請你來解一解：

如圖，將矩形ABCD的四邊BA、CB、DC、AD分別延長至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，連接EF，FG，GH，HE．

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】試題（1）由矩形的性質得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，證出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，設AE=x，則BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函數得出方程，解方程即可．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，∵BF=DH，∴AH=CF，在Rt△AEH中，EH=，在Rt△CFG中，FG=，∵AE=CG，∴EH=FG，同理：EF=HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，設AE=x，則BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．