Question

（2006•蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，）為圓心，以2長為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，連接AM并延長交⊙M于P點，連接PC交x軸于E．
（1）求出CP所在直線的解析式；
（2）連接AC，請求△ACP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求CP所在的直線的解析式，就必須知道C，P兩點的坐標，有圓心M的坐標，有圓的半徑，那么可求出OC的，OM的長，直角三角形AMO中有AM，OM的值，就能求出OA，OB的長，那么P的橫坐標就求出來了，連接PB，那么OM是三角形APB的中位線，PB=2OM，已經求出了OM的長，那么PB的長也就求出來了，這樣P點的坐標就求出來了，有了C，P的坐標，可根據待定系數法求出CP所在直線的解析式；
（2）求三角形ACP的面積實際上是求直角邊AC，PC的長，因為三角形ACP是個直角三角形，有斜邊AB的長，只要求出這個三角形中銳角的度數，即可求出直角邊的長，在三角形AMO中，我們可求出∠AMO的度數，根據圓周角定理，也就求出了∠P的度數，有了銳角的度數和斜邊的長，直角邊就能求出來了，面積也就能求出來了．
解答：解：（1）連接PB，
∵PA是⊙M的直徑，
∴∠PBA=90度，
∵DC是⊙M的直徑，且垂直于弦AB，
∴DC平分弦AB，
在Rt△AMO中AM=2，OM=，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2，
∴P點坐標為（3，2），
∵CM=2，OM=，
∴OC=CM-OM=，
∴C（0，-），直線CP過C，P兩點，
設直線CP的解析式為y=kx+b（k≠0），
得到，
解得：，
∴直線CP的解析式為；

（2）在Rt△AMO中，∠AMO=60度，
又∵AM=CM，
∴△AMC為等邊三角形，
∴AC=AM=2，∠MAC=60度．
又∵AP為⊙M的直徑，
∴∠ACP=90°，∠APC=30度，
PC=AC==6，
∴△ACP的面積=AC•PC==6．
點評：本題考查了一次函數與圓，直角三角形等知識的綜合應用，根據直角三角形求出線段的長是本題解題的關鍵．