Question

如圖，已知一次函數(shù)y＝2x＋2的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(1，m) ．過點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù) (x＞0)的圖象交于點(diǎn)D(n，－2)．

（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點(diǎn)C、E，試問在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE．若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）k₁=4、k₂=－16。
（2）存在符合條件的F坐標(biāo)為（0，－8）

解析分析：（1）將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)
中即可求出k₁的值；
過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對(duì)直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ABM與△BDN相似，由相似得比例，求出DN的長，確定出D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù) 中即可求出k₂的值；
（2）在y軸上存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE，此時(shí)F（0，－8），理由為：由y=2x+2求出C坐標(biāo)，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為△BDN的中位線，求出OE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的長，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時(shí)F的坐標(biāo)。
解：（1）將A（1，m）代入一次函數(shù)y=2x+2中，得：m=2+2=4，
∴A（1，4）。
將A（1，4）代入反比例解析式得：k₁=4。
過A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，

∴∠AMB=∠DNB=90°。∴∠BAM+∠ABM=90°。
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°。∴∠BAM=∠DBN。
∴△ABM∽△BDN。∴，即。∴DN=8。
∴D（8，－2）。
將D坐標(biāo)代入得：k₂=－16。
（2）存在符合條件的F坐標(biāo)為（0，－8）。理由如下：
由y=2x+2，求出C坐標(biāo)為（－1，0）。
∵OB=ON=2，DN=8，∴OE=4。
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC。
若△BDF∽△ACE，則，即，解得：BF=10。
∴F（0，－8）。
∴存在符合條件的F坐標(biāo)為（0，－8）。