Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，點在原點的左側，點的坐標為（，），與軸交于（，），點是直線下方的拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連結、，并把△沿邊翻折，得到四邊形， 那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大并求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）存在，；（3）當點P的坐標為，四邊形的面積最大，最大面積是

【解析】

（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；.

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；.

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．

（1）將B、C兩點的坐標代入，

得，解得，

∴二次函數的解析式為y=x22x3；

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形，

設P點坐標為（x，x2-2x-3），PP′交CO于E，

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO，

連接PP′，則PE⊥CO于E，

.

∵C（0，-3），

∴CO=3，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=，

∴y=；

∴x2-2x-3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴存在這樣的點，此時P點的坐標為；

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x2-2x-3），

設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：

∴直線BC的解析式為y=x-3，

則Q點的坐標為（x，x-3），

當0=x2-2x-3，

解得：x1=-1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×4×3+（x2+3x）×3

=（x）2+

當x＝時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標為（，），四邊形ABPC的面積的最大值為．