Question

【題目】如圖，中，，，點為邊上的一個動點(不與點，及中點重合)，連接，點關于直線的對稱點為點，直線，交于點.

（1）如圖1，當時，根據題意將圖形補充完整，并直接寫出的度數；

（2）如圖2，當時，用等式表示線段，，之間的數量關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）作AH⊥CD延長于H，延長AH到E，使AH=HE，連接BE并延長BE，交CD延長線于F，可證明CF是AE的中垂線，即可得點E是點關于直線的對稱點，根據中垂線的性質及等腰三角形的性質即可求出∠BFC的度數；（2）由點關于直線的對稱點為點可得，即可證明，，，根據等腰三角形的性質可得，進而可得，由通過等量代換可知，在和Rt△ABC中，利用勾股定理即可證明結論.

（1）如圖：過點A作AH⊥CD延長于H，延長AH到E，使AH=HE，連接BE并延長BE，交CD延長線于F，

連接CE，

∵AH=EH，CH⊥AE，

∴CF是AE的中垂線，

∴點E是點關于直線的對稱點，

∴圖形即為所求.

∵CF是AE的中垂線，

∴AC=CE，

∵∠ACD=15°，

∴∠ACE=30°，∠FCE=15°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=60°，

∵AC=BC，

∴CE=BC，

∴∠CEB=60°，

∴∠BFC=∠CEB-∠FCE=60°-15°=45°.

（2）猜想：.

證明：連接，，延長，交于點，

∵點關于直線的對稱點為點，

∴.

∴，，.

∵，

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

在中，.

∵在中，，

∴.

∴.