Question

如圖，點A是反比例函數y=

k

x

(k＜0)y上一點，作AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積為2，點A坐標為（-1，m）．
（1）求k和m的值．
（2）若直線y=ax+3經過點A，交另一支雙曲線于點C，求△AOC的面積．
（3）指出x取何值時，一次函數的值大于反比例函數的值，直接寫出結果．
（4）在y軸上是否存在點P，使得△PAC的面積為6？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△AOB的面積求出A點的坐標，然后根據A點坐標確定出反比例函數的解析式即可．
（2）將△AOC分成△AOM和COM兩部分進行求解．先根據直線AC的解析式經過點A求出a的值，再求出M的坐標，即可得出OM的長，然后根據A、C的縱坐標即可求出△AOC的面積；
（3）由圖象，根據A、C的橫坐標即可得出答案．
（4）假設存在，設P（0，c），由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC即可求解．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，OB=1，S_△OAB=2，∴AB=4，
即A（-1，4），∴m=4，把A（-1，4）代入反比例函數y=

k

x

(k＜0)
∴k=-4，
即m=4，k=-4．

（2）根據y=ax+3經過點A（-1，4），∴4=-a+3，∴a=-1，
則根據若直線y=-x+3經過點A，交另一支雙曲線于點C，解得：C（4，-1），
設直線AC與x軸交于點M，則M（3，0），
∴OM=3，∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OCM=

1

2

×3×4+

1

2

×3×1=

15

2

，

（3）由圖象知，當-1＜x＜4時，一次函數的值大于反比例函數的值；

（4）假設存在，設P（0，c），直線AC與y軸交于點N，則N（0，3），
∴由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC=

1

2

×|c-3|×1+

1

2

×|c-3|×4=6，
解得：c=

3

5

或c=

27

5

，即P（0，

3

5

）或P（0，

27

5

），
故存在P使△PAC的面積為6．

點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力，難度較大，關鍵掌握用待定系數法解函數的解析式．