Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，弧AE等于弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．
（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；
（2）若點E和點A在BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：等腰三角形；

∵BC為直徑，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵ ，

∴∠ABE=∠C，

∴∠ABE=∠BAD，

∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠AGB，

∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形

（2）解：成立；

∵BC為直徑，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵ ，

∴∠ABE=∠C，

∴∠ABE=∠BAD，

∴AF=BF，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠AGB，

∴FA=FG，

∴△FAG是等腰三角形

【解析】（1）首先根據圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，從而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF=BF，從而證得FA=FG，判定等腰三角形；（2）成立，證明方法同（1）．
【考點精析】利用垂徑定理和圓周角定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．