Question

【題目】如圖，點N是△ABC的邊BC延長線上的一點，∠ACN=2∠BAC，過點A作AC的垂線交CN于點P．

（1）若∠APC=30°，求證：AB=AP；

（2）若AP=8，BP=16，求AC的長；

（3）若點P在BC的延長線上運動，∠APB的平分線交AB于點M．你認為∠AMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出∠AMP的大小．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、6；(3)、45°.

【解析】

試題分析：(1)、由∠P=30°，∠CAP=90°得∠ACP=60°，∠BAC=30°，所以∠ABP=30°，進而可得∠ABP=∠P，即AB=AP；(2)、設AC=x，由勾股定理建立方程得x2+82=（16﹣x）2求出x的值即可求出AC的長；

(3)、∠AMP的大小不發生變化，由∠AMP=∠B+∠APC=∠ACP+∠APC=（∠ACP+∠APC）=90°=45°進而可得結論．

試題解析：(1)、∵AC⊥AP， ∴∠CAP=90°， ∵∠P=30°， ∴∠ACP=60°， ∴∠BAC=30°，

∴∠ABP=30°， ∴∠ABP=∠P， ∴AB=AP；

(2)、設AC=x，在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得x2+82=（16﹣x）2 解得x=6， 所以AC=6；

(3)、∠AMP的大小不發生變化

理由如下： ∵∠AMP=∠B+∠APC=∠ACP+∠APC=（∠ACP+∠APC）=90°=45°，

∴是一個的值，即不發生變化．