Question

【題目】在平面直角坐標系中,規定：拋物線y=a(xh) +k的關聯直線為y=a(xh)+k.

例如：拋物線y=2(x+1) 3的關聯直線為y=2(x+1)3，即y=2x1.

(1)如圖,對于拋物線y=(x1) +3.

①該拋物線的頂點坐標為___，關聯直線為___，該拋物線與其關聯直線的交點坐標為___和___；

②點P是拋物線y=(x1) +3上一點,過點P的直線PQ垂直于x軸,交拋物線y=(x1) +3的關聯直線于點Q.設點P的橫坐標為m,線段PQ的長度為d(d>0)，求當d隨m的增大而減小時，d與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍。

(2)頂點在第一象限的拋物線y=a(x1) +4a與其關聯直線交于點A,B(點A在點B的左側)，與x軸負半軸交于點C，直線AB與x軸交于點D，連結AC、BC.

①求△BCD的面積(用含a的代數式表示).

②當△ABC為鈍角三角形時，直接寫出a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；②當m<1,d=m3m+2; m<2時,d=m+3m2；;（2）①9a;②0<a<或a>1.

【解析】

（1）①利用二次函數的性質和新定義得到拋物線的頂點坐標和關聯直線解析式；然后解方程組 得該拋物線與其關聯直線的交點坐標；

②設P（m，-m+2m+2），則Q（m，-m+4），如圖1，利用d隨m的增大而減小得到m<1或1<m<2，當m<1時，用m表示s得到d=m-3m+2；當1<m<2時，利用m表示d得到d=-m+3m-2，根據二次函數的性質得當m≥ ，d隨m的增大而減小，所以≤m<2時，d=-m+3m-2；

（2）①先確定拋物線y=-a（x-1）+4a的關聯直線為y=-ax+5a，再解方程組

得A（1，4a），B（2，3a），接著解方程-a（x-1）+4a=0得C（-1，0），解方程-ax+5a=0得D（5，0），然后利用三角形面積公式求解；

②利用兩點間的距離公式得到AC=2+16a，BC=3+9a，AB=1+a，討論：當AC+AB<BC，∠BAC為鈍角，即2+16a+1+a<3+9a；當BC+AB<AC，∠BAC為鈍角，即3+9a+1+a<2+16a，然后分別解不等式即可得到a的范圍．

(1)①拋物線的頂點坐標為(1,3),關聯直線為y=(x1)+3=x+4,

解方程組 得 或 ，

所以該拋物線與其關聯直線的交點坐標為(1,3)和(2,2)；

故答案為(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；

②設P(m,m+2m+2)則Q(m,m+4)，如圖1，

∵d隨m的增大而減小，

∴m<1或1<m<2，

當m<1時,d=m+4(m+2m+2)=m3m+2；

當1<m<2時,d=m+2m+2(m+4)=m+3m2,當m，d隨m的增大而減小，

綜上所述,當m<1,d=m3m+2; m<2時,d=m+3m2；

(2)①拋物線y=a(x1) +4a的關聯直線為y=a(x1)+4a=ax+5a，

解方程組得 或 ，

∴A(1,4a),B(2,3a)，

當y=0時,a(x1) +4a=0,解得x =3,x =1,則C(1,0)，

當y=0時,ax+5a=0,解得x=5,則D(5,0)，

∴S△BCD=×6×3a=9a；

②AC=2+16a,BC=3+9a,AB=1+a，

當AC+AB<BC,∠BAC為鈍角,即2+16a+1+a<3+9a,解得a< ；

當BC+AB<AC,∠BAC為鈍角,即3+9a+1+a<2+16a，解得a>1，

綜上所述,a的取值范圍為0<a<或a>1