Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）求證：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析；（3）；陰影部分的面積是：cm2．

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角，以及垂直于同一直線的兩直線平行即可證得；

（2）根據垂徑定理以及等弧所對的圓周角相等，即可證得：△AFO和△CEB的兩個角相等，從而證得兩個三角形全等；

（3）根據勾股定理求得x的值，然后根據陰影部分的面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解．

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴AC⊥BC

又∵OF⊥AC

∴OF∥BC

（2）證明：∵AB⊥CD

∴

∴∠CAB=∠BCD

又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，

∴△AFO≌△CEB

（3）連接DO．設OE=x，

∵AB⊥CD

∴CE=CD=5cm．

在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），

根據勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2

解得：x=5，即OE=5cm，

∴tan∠COE=，

∴∠COE=60°

∴∠COD=120°，

∴扇形COD的面積是：cm2

△COD的面積是：CDOE=×10×5=25cm2

∴陰影部分的面積是：（）cm2．