Question

如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥OA，交BO于點N，連接ND、BM，設OP=t．

（1）求點M的坐標（用含t的代數式表示）．

（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．

（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最小．

　

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）作ME⊥x軸于E，則∠MEP=90°，先證出∠PME=∠CPO，再證明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出點M的坐標；

（2）連接AM，先證明四邊形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，證出四邊形OAMN是平行四邊形，即可得出MN=OA=4；

（3）先證明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四邊形BNDM的面積S是關于t的二次函數，即可得出結果．

【解答】解：（1）作ME⊥x軸于E，如圖1所示：

則∠MEP=90°，ME∥AB，

∴∠MPE+∠PME=90°，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，

∵PM⊥CP，

∴∠CPM=90°，

∴∠MPE+∠CPO=90°，

∴∠PME=∠CPO，

在△MPE和△PCO中，，

∴△MPE≌△PCO（AAS），

∴ME=PO=t，EP=OC=4，

∴OE=t+4，

∴點M的坐標為：（t+4，t）；

（2）線段MN的長度不發生改變；理由如下：

連接AM，如圖2所示：

∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，

∴四邊形AEMF是矩形，

又∵EP=OC=OA，

∴AE=PO=t=ME，

∴四邊形AEMF是正方形，

∴∠MAE=45°=∠BOA，

∴AM∥OB，

∴四邊形OAMN是平行四邊形，

∴MN=OA=4；

（3）∵ME∥AB，

∴△PAD∽△PEM，

∴，

即，

∴AD=﹣t²+t，

∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t²+t）=t²﹣t+4，

∵MN∥OA，AB⊥OA，

∴MN⊥AB，

∴四邊形BNDM的面積S=MN•BD=×4（t²﹣t+4）=（t﹣2）²+6，

∴S是t的二次函數，

∵＞0，

∴S有最小值，

當t=2時，S的值最小；

∴當t=2時，四邊形BNDM的面積最小．

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、四邊形面積的計算以及二次函數的最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要證明四邊形是正方形、平行四邊形、三角形相似以及運用二次函數才能得出結果．