Question

【題目】如圖，O是正△ABC內一點，OA=6，OB=8，OC=10，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為8；③S四邊形AOBO′=24+12 ；④S△AOC+S△AOB=24+9；⑤S△ABC=36+25； 其中正確的結論有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵△ABC為正三角形，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，
∴∠OBO′=∠ABC=60°，OB=O′B，AB=BC，
即∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；
故①正確；
②如圖1：連接OO′，
∵將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，
∴∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′為正三角形，
又∵OB=8，
∴OO′=8；
故②正確；

③由①知△BO′A≌△BOC，
∵OC=10，
∴AO′=CO=10，
∴AO′2=AO2+OO′2，
∴△AOO′為直角三角形，
∴S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′=×6×8+×8×4=24+16 ；
故③錯誤；
④如圖2，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使AB與AC重合，點O旋轉至O′′，
∴∠OAO′′=60°，OA=O′′A，OB=O′′C，
∵OA=6，
∴△AOO′′是邊長為6的正三角形，
又∵OB=8，OC=10，
∴O′′C=8，
∴OC2=OO′′2+O′′C2，
∴△COO′′為直角三角形，
∴S△AOC+S△AOB=S△AOC+S△AO′′C=S△O′′OC+S△AO′′O=×6×8+×6×3=24+9，
故④正確；

⑤S△AOB=×6×8×=12，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△AOB+S△ABO′+S△AOC=S△AOO′+S△BOO′+S△O′′OC+S△AO′′O-S△AOB=24+16+24+9-12=36+25；
故⑤正確；
綜上所述正確的結論有：①②④⑤.
所以答案是：D.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．