Question

已知：如圖，⊙O與⊙A相交于C，D兩點，A，O分別是兩圓的圓心，△ABC內接于⊙O，弦CD交AB于點G，交⊙O的直徑AE于點F，連接BD．
（1）求證：△ACG∽△DBG；
（2）求證：AC²=AG•AB；
（3）若⊙A，⊙O的直徑分別為，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓周角定理知，∠CAG=∠BDG，由對頂角的概念知，∠AGC=∠DGB，故△ACG∽△DBG；
（2）由連心線垂直于公共弦和垂徑定理知，弧AC=弧AD，由圓周角定理知∠ACG=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，故△ACG∽△ABC．有，即AC²=AG•AB．
（3）連接CE，易得Rt△CFA∽Rt△ECA，則有，求得AE的值，由勾股定理求得CF的值后，由已知CG：CD=1：4，求得CG，DG的值，再在Rt△AFG中，由勾股定理求得AG的值，由2中的AC²=AG•AB，由1中的△ACG∽△DBG得到，代入對應的邊的值，即可求得AB，BD的值．
解答：（1）證明：在△ACG和△DBG中，
∵∠CAG=∠BDG，∠AGC=∠DGB，
∴△ACG∽△DBG．

（2）證明：連接AD，則AC=AD．
在△ACG和△ABC中，
∵AC=AD，
∴∠ACG=∠ABC．
又∵∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC．
∴，即AC²=AG•AB．

（3）解：連接CE，則∠ACE=90°．
∵⊙O與⊙A相交于C，D兩點，
∴圓心O，A在弦CD的垂直平分線上，即AO垂直平分弦CD．
∴CF=DF，CF⊥AE且．
∵⊙A，⊙O的直徑分別為，15，
∴AC=3，AE=15．
在Rt△CFA和Rt△ECA中，
∵∠ACF=∠ADC=∠AEC，
∴Rt△CFA∽Rt△ECA．
∴，即AF=．
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC²=AF²+CF²，
即（3）²=3²+CF²．解得CF=6（舍去負值）．
∵CG：CD=1：4，且CD=2CF=12，
∴CG：DG=1：3，
∴CG=FG=12×=3，DG=12×=9．
在Rt△AFG中，由勾股定理，得AG²=AF²+FG²=3²+3²=18，
∴AG=3（舍去負值）．
由（2），有AC²=AG•AB，即．
解得AB=．
由（1），有△ACG∽△DBG，得．
∴BD=．
點評：本題是圓內的一道綜合題，利用了連心線與公共弦的關系，圓周角定理，垂徑定理，直徑對的圓周角是直角，中垂線的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質求解．