Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，小聰同學利用直尺和圓規完成了如下操作：

①作∠BAC的平分線AM交BC于點D；

②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點P；

③連接PB，PC．

請你觀察圖形解答下列問題：

（1）線段PA，PB，PC之間的數量關系是　 　；

（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】（1）PA＝PB＝PC；（2）80°．

【解析】

（1）根據線段的垂直平分線的性質可得：PA＝PB＝PC；

（2）根據等腰三角形的性質得：∠ABC＝∠ACB＝70°，由三角形的內角和得：∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，由角平分線定義得：∠BAD＝∠CAD＝20°，最后利用三角形外角的性質可得結論．

（1）如圖，PA＝PB＝PC，理由是：

∵AB＝AC，AM平分∠BAC，

∴AD是BC的垂直平分線，

∴PB＝PC，

∵EP是AB的垂直平分線，

∴PA＝PB，

∴PA＝PB＝PC；

故答案為：PA＝PB＝PC；

（2）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝20°，

∵PA＝PB＝PC，

∴∠ABP＝∠BAP＝∠ACP＝20°，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP＝20°+40°+20°＝80°．