Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過點C作AE 的垂線CF，垂足為F，過點B作BD⊥BC，交CF的延長線于點D.

(1)求證：AE＝CD.

(2)若AC＝12 cm，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6cm

【解析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中，在這兩個三角形中，已經有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答．

（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的長．

（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD．

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，

∴△CDB≌△AEC（HL），

∴BD=CE，

∵AE是BC邊上的中線，

∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．

∴BD=6cm．