Question

【題目】如圖，BD是ABCD的對角線，AD⊥BD，AB＝2cm，∠A＝45°．動點P從點B出發，以cm/s的速度沿BA運動到終點A，同時動點Q從點D出發，以2cm/s的速度沿折線DB﹣BC向終點C運動，當一點到達終點時另一點也停止運動．過點Q作QE⊥AD，交射線AD于點E，連接PQ，以PQ與EQ為邊作PQEF．設點P的運動時間為t（s），PQEF與ABCD重疊部分圖形的面積為S（cm2）．

（1）AP＝　 　cm（用含的代數式表示）；

（2）當點F落在邊AD上時，求t的值：

（3）求S與t之間的函數關系式；

（4）連接FQ，當FQ所在的直線將ABCD分成面積相等的兩部分時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）2﹣t（2）（3）S＝（4）t＝或t＝

【解析】

（1）先根據點P的運動速度和時間可得PB的長，從而得AP的長；
（2）根據BQ＝PQ＝BDDQ，列方程可得結論；也可以根據平行四邊形的性質可得PF＝QE，據此列出方程求出t的值即可；
（3）分三種情況分別求出S與t的函數關系式即可：①當0＜t≤時，PQEF與ABCD重疊部分為矩形；②當＜t≤1時，PQEF與ABCD重疊部分為梯形；③當1＜t≤2時，PQEF與ABCD重疊部分為五邊形．
（4）當直線FQ將ABCD分成面積相等的兩部分時，則Q必在對角線BD中點或直線FQ經過對角線BD中點，據此解答即可．

解：（1）由題意得：PB＝t，

∵AB＝2，

∴AP＝AB﹣PB＝2﹣t；

故答案為（2﹣t）；

（2）如圖1，當點F落在邊AD上，

由題意得：DQ＝2t，PB＝t，

∵四邊形PQEF是平行四邊形，

∴PQ∥EF，

∴∠BPQ＝∠A＝45°，∠BQP＝∠ADB＝90°，

∴PQ＝BQ＝t，

∵△ADB是等腰直角三角形，且AB＝2，

∴BD＝2，

∴BQ＝BD﹣DQ＝2﹣2t，

即t＝2﹣2t，

∴t＝，

則當點F落在邊AD上時，t的值秒；

（3）分兩種情況：

①當0＜t≤時，Q在BD上，如圖1，過P作PM⊥BD于M，則△BPM是等腰直角三角形，

∵PB＝t，

∴PM＝t，

∴S＝DQPM＝2tt＝2t2；

②當＜t≤1時，Q在BD上，如圖3，過Q作QH⊥AB于H，

∵BQ＝2﹣2t，

∴QH＝（2﹣2t），

∵PF∥BD，∠ADB＝90°，

∴∠ANP＝90°，

∵AP＝2﹣t，

∴AN＝PN＝2﹣t，

∴S＝S△ADB﹣S△ANP﹣S△PBQ＝﹣＝t2+t．

③當1＜t≤2時，如圖4，Q在BC上，

同②知：AN＝PN＝2﹣t，

∵EQ∥BD，DE∥BQ，

∴四邊形BDEQ是平行四邊形，∠DEQ＝90°，

∴EQ＝span>BD＝2，BQ＝DE＝2t﹣2，

∵EN＝DN+DE＝2﹣（2﹣t）+（2t﹣2）＝3t﹣2，

S＝﹣＝﹣＝﹣t2+11t﹣6；

綜上，S與t之間的函數關系式為：S＝；

（4）存在兩種情況：

①當FQ過BD的中點O時，如圖5，則OB＝OD＝1，

∵∠DOM＝∠BOQ，∠MDO＝∠OBQ，

∴△MDO≌△QBO（ASA），

∴BQ＝DM＝DE＝2t﹣2，

∴MN＝EN﹣2DM＝（3t﹣2）﹣2（2t﹣2）＝2﹣t，

∵AN＝PN＝2﹣t，

∴FN＝t，

∵∠NFM＝∠BOQ，

∴tan∠NFM＝tan∠BOQ，即，

∴，

2t2﹣t﹣2＝0，

t＝或；

②當Q在BD的中點上時，如圖6，則2t＝1，t＝；

綜上，t＝秒或t＝秒．