Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，弦于點，點是⊙上一點，且，連接，，交于點．

（1）若，，求⊙的半徑；

（2）求證：為等腰三角形；

（3）連接并延長，交的延長線于點，過點作⊙的切線，交的延長線于點．求證：．

Answer 1

【答案】（1）⊙的半徑為5；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接BC，AC，AD，通過證明△ACE∽△CEB，可得，可求BE的長，即可求⊙O的半徑；
（2）通過證明△ADE≌△NDE，可得∠DAN=∠DNA，即可證BN=BF，可得△BNF為等腰三角形；
（3）通過證明△ODE∽△ODM，可得DO2=OEOM，通過證明△PCO∽△CEO，可得CO2=POON，即可得結論．

解：（1）如圖1，連接，

∵，是直徑

∴，

∴，且

∴∽

∴

∴

∴

∴

∴⊙的半徑為5

（2）∵

∴，且，

∴≌（）

∴，

∵，

∴

∴，

∴是等腰三角形

（3）如圖2，連接，

∵是切線，

∴，

∴，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∵

∴

∵四邊形是圓內接四邊形

∴

∴，且

∴∽

∴

∴，

∴．