Question

 已知正方形ABCD的邊長AB=k（k是正整數），等邊三角形PAE的頂點P在正方形內，頂點E在邊AB上，且AE="1." 將等邊三角形PAE在正方形內按圖中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、…連續地翻轉n次，使頂點P第一次回到原來的起始位置. ①如果k=1，那么頂點P第一次回到原來的起始位置時，△PAE沿正方形的邊連續翻轉的次數n=       ；②如果頂點P第一次回到原來的起始位置時，等邊三角形PAE沿正方形的邊連續翻轉的次數是84，那么正方形ABCD的邊長k=         .

Answer 1

（1）正△PAE的頂點P在正方形內按圖1中所示的方式連續地翻轉，頂點P第一次回到原來的起始位置，實際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數，由此求出k=1，2，3時n的值；故當k是3的倍數時，n=4k；當k不是3的倍數時，n=12k．
（2）根據當k是3的倍數時，n=4k；當k不是3的倍數時，n=12k即可求得k的值．
解答：解：正△PAE的頂點P在正方形內按圖1中所示的方式連續地翻轉，頂點P第一次回到原來的起始位置，實際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數；
（1）當k=1時，4k，3的最小公倍數是12，故n=12；
（2）當k不是3的倍數時，84=12×7，則k=7；
當k是3的倍數時：84=4×21，則k=21．