Question

若x⁴－5x³＋ax²＋bx＋c能被(x－1)²整除，試求(a＋b＋c)²的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：因為x4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除 　　所以x4－5x3＋ax2＋bx＋c＝A·(x－1)2．(A為商式) 　　當x＝1時，上等式變為 　　14－5×13＋a＋b＋c＝0 　　所以a＋b＋c＝4 　　所以(a＋b＋c)2＝16 　　分析：要出現化數式a＋b＋c，是須取x＝1，從而將問題轉化代數式的恒等變形． 　　點撥：本題把多項式的除法與代數式求值結合在一起．x4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除，即(x－1)2是x4－5x3＋ax2＋bx＋c的一個因式，當x＝1時，x－1＝0，(x－1)2＝0，此時多項式x4－5x3＋ax2＋bx＋c的值為0，從而有1－5＋a＋b＋c＝0，a＋b＋c＝4，這一規律即為多項式的一個性質：若一個多項式能被(x－a)整除，則x－a是這個多項式的一個因式，當x＝a時，多項式的值為0．