Question

【題目】如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，AB邊上的中垂線DE分別交AB，AC于點D、E，∠BAC的平分線交DE于點F．連接BF、CF、BE．

（1）求證：△BCF為等邊三角形；

（2）猜想EF、EB、EC三條線段的關系，并說明理由；

（3）如圖2，在BE的延長線上取一點M，連接AM，使AM=AB，連接MC并延長交AF的延長線于點M．求證：AN=MC．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BE=EF+EC，理由詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先根據角平分線定義得：∠BAF=∠CAF=15°，根據等腰三角形性質得：∠ABC=

∠ACB=75°，計算∠FBC=60°，由中垂線的性質得：AF=BF，證明△BAF≌△CAF（SAS），

可得BF=CF，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可得結論；

（2）如圖1，作輔助線，構建等邊三角形EFG，證明△BFG≌△CFE，可得BG=EC，可得：

BE=BG+EG=EF+EC；

（3）如圖2，設AE=x，分別計算∠CAM=90°，∠NAH=60°，∠ANH=30°，可得

，可得結論．

證明：（1）如圖1，∵∠BAC=30°，AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF=15°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵DE是AB的中垂線，

∴AF=BF，

∴∠BAF=∠ABF=15°，

∴∠FBC=75°﹣15°=60°，

在△BAF和△CAF中，

∵

∴△BAF≌△CAF（SAS），

∴BF=CF，

∴△BCF是等邊三角形；

（2）猜想：BE=EF+EC，

如圖1，在BE上截取EF=FG，

∵DE是AB的中垂線，

∴AE=BE，

∴∠BED=∠AED=60°，

∴△FGE是等邊三角形，

∴∠GFE=60°，EF=EG，

∵∠BFC=60°，

∴∠BFG=∠CFE，

在△BFG和△CFE中，

∵

∴△BFG≌△CFE，

∴BG=EC，

∴BE=BG+EG=EF+EC；

（3）如圖2，∵∠ABE=∠BAE=30°，

∴∠AEM=60°，

∵AB=AM，

∴∠ABE=∠AMB=30°，

∴∠EAM=90°，

設AE=x，則EM=2x，

∵AB=AC=AM，

∴△ACM是等腰直角三角形，

∴

∠AMC=45°，

過A作AH⊥MN于H，

∴△AMH是等腰直角三角形，

∴

∵AC=AM，AH⊥CM，

∴∠CAH=45°，

∵∠NAC=∠BAC=15°，

∴∠NAH=15°+45°=60°，

∴∠ANH=30°，

∴

∴AN=CM．