Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為4，CD為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，B為CD延長線上的一點，∠ABC=30°，且AB=AC。

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）求弦AC的長；

（3）求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）如圖，連接OA，欲證明AAB為⊙O的切線，只需證明AB⊥OA即可；

（2）如圖，連接AD，構建直角△ADC，利用“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理來求弦AC的長度；

（3）根據圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OA．

∵AB=AC，∠ABC=30°，

∴∠ABC=∠ACB=30°．

∴∠AOB=2∠ACB=60°，

∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA，

又∵OA是⊙O的半徑，

∴AB為⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接AD．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DAC=90°．

∵由（1）知，∠ACB=30°，

∴AD= CD=4，

則根據勾股定理知AC=.

即弦AC的長為.

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=

則S△ADC=ADAC=×4×=．

∵點O是△ADC斜邊上的中點，

∴S△AOC=S△ADC=.

根據圖示知，S陰影=S扇形ADO+S△AOC=，

即圖中陰影部分的面積是．

考點: 1.切線的判定；2.扇形面積的計算．