Question

已知兩直線l₁，l₂分別經過點A（3，0），點B（-1，0），并且當兩直線同時相交于y負半軸的點C時，恰好有l₁⊥l₂，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點D，如圖所示．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）求出拋物線的函數解析式；
（3）當直線l₁繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°）時，它與拋物線的另一個交點為P（x，y），求四邊形APCB面積S關于x的函數解析式，并求S的最大值；
（4）當直線l₁繞點C旋轉時，它與拋物線的另一個交點為E，請找出使△ECD為等腰三角形的點E，并求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用兩角對應相等兩三角形相似即可判定兩三角形相似；
（2）利用求得的相似三角形的對應邊的比相等得到線段OC的長即可求得點C的坐標，利用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（3）利用S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP即可求得S與x之間的函數關系；
（4分以點D為圓心，線段DC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點E₁、當以點C為圓心，線段CD長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點為點E₁和點B、作線段DC的中垂線l，交CD于點M，交拋物線于點E₂，E₃，三種情況求得點E的坐標即可．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠OCA
∵∠BOC=∠AOC=90°
∴BOC∽△COA；

（2）由△BOC∽△COA 得

CO

BO

=

AO

CO

，即

CO

3

=

1

CO

∴CO=

3

∴點C的坐標是（0，-

3

）；
由題意，可設拋物線的函數解析式為y=ax²+bx-

3

把A（3，0），B（-1，0）的坐標分別代入y=ax²+bx-

3

，得

a-b+ 3 =0 9a-3b- 3 =0

，
解這個方程組，得

a= 3 3 b=- 2 3 3

∴拋物線的函數解析式為y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

；

（3）S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP
=

1

2

OB•CO+

1

2

×OA（-y）+

1

2

CO•x
=

3

2

-3[

3

3

（x²-2x-3）×2]+

3 x

2

=-

3

2

x²+

3 3

2

x+2

3

（0＜x＜

3

）
當x=

3

2

屬于（0＜x＜3）時，S的最大值是

25 3

8

；

（4）可求得直線l₁的解析式為y=

3

3

x-

3

，直線l₂的解析式為y=-

3

x-

3

拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線頂點的坐標為（1，-

4 3

3

）
由此可求得點D的坐標為（1，-2

3

），
（i）以點D為圓心，線段DC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點E₁，由拋物線對稱性可知點E₁為點C關于直線x=1的對稱點
∴點E₁的坐標為（2，-

3

），此時△E₁CD為等腰三角形；
（ii）當以點C為圓心，線段CD長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點為點E₁和點B，而三點B、C、D在同一直線上，不能構成三角形；
（iii）作線段DC的中垂線l，交CD于點M，交拋物線于點E₂，E₃，交y軸于點F
因為OB=1，CO=

3

，所以∠MCF=∠D=∠OCB=30°，CM=

1

2

CD=1
可求得CF=

2 3

3

，OF=

5 3

3

因為直線l與l₁平行，所以直線l的解析式為y=

3

3

x-

5 3

3

所以 

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 (x2-2x-3)

解得x=1，或x=2，
說明E₂就是頂點（1，-

4 3

3

），E₃就是E₁（2，-

3

），
綜上所述，當點E的坐標分別為（2，-

3

），（1，-

4 3

3

）時，△DCE為等腰三角形．

點評：本題考查了二次函數的應用，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和四邊形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．