Question

（1）觀察圖1，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=

40°

．
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，直接寫出∠A的度數為

70°

．

Answer 1

分析：（1）根據題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，則容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②結合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結論可知∠DCE=

1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，進而可得答案．

解答：解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．
理由如下：
連接AD并延長到E點
∵∠BDE=∠BAE+∠B
∠EDC=∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC
∠BAC=∠BAE+∠EAC
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因為∠A=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
故答案是：40°；

②由（1）的結論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=

1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③如圖4，∠BG₁C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴

1

10

（140-x）+x=77，
14-

1

10

x+x=77，
x=70
∴∠A為70°．
故答案是：70°．

點評：本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．