Question

【題目】如圖1，OA＝1，OB＝3，以A為直角頂點，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求點C的坐標;

（2）如圖2，P為y軸負半軸上的一個動點，當點P向下運動時，以P點為直角頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求PO-DE的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析】（1）如圖1，過C作CD⊥x軸于D．構建全等三角形：△CDA≌△AOB（AAS），則AD=OB=3，CD=OA=1，故OD=4，所以易求C（﹣4，﹣1）；

（2）如圖2，過點Q作QR⊥y軸于R．則四邊形QEOR是矩形，通過證△OPA≌△RQP（AAS），推知OA=PR，則OR=OP﹣PR=OP﹣OA，所以OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始終保持不變．

試題解析：解：（1）如圖，過C作CD⊥x軸于D．

∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，∴∠1+∠OAB=∠2+∠OAB=90°，∴∠1=∠2．

在△CDA與△AOB中，∵∠CDA=∠AOB，∠1=∠2，CA=AB，∴△CDA≌△AOB（AAS），

∴AD=OB=3，CD=OA=1，∴OD=4，∴C（﹣4，﹣1）；

（2）如圖，過點Q作QR⊥y軸于R．

則四邊形QEOR是矩形，∴QE=OR．

∵∠APQ=90°，∴∠1+∠QPR=∠2+∠QPR=90°，∴∠1=∠2．

在△APO與△PQR中，∵∠AOP=∠PRQ，∠1=∠2，AP=PQ，∴△OPA≌△RQP（AAS），∴OA=PR，∴OR=OP﹣PR=OP﹣OA，∴OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始終保持不變．