Question

【題目】（1）問題背景

如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB＝AC，P為上一動點（不與B，C重合），

求證：PA＝PB＋PC．

請你根據小明同學的思考過程完成證明過程．

（2）類比遷移

如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內一點，AB＝AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如圖，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內一點，AB＝AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3-2（3）

【解析】

分析: （1）將△PAC繞著點A順時針旋轉90°至△QAB（如圖①）,只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題,（2）如圖②中,連接OA,將△OAC繞點O順時針旋轉90°至△QAB,連接OB,OQ,在△BOQ中,利用三邊關系定理即可解決問題,
（3）如圖③構造相似三角形即可解決問題,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB,

由△QAB∽△OAC,推出BQ=OC,當BQ最小時,OC最小.

詳解:（1）證明:∵BC是直徑,

∴∠BAC＝90°,

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋轉可得∠QBA＝∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA＝180°,

∴∠QBA+∠PBA＝180°,

∴Q,B,P三點共線,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°

∴QP2=AP2+AQ2=2AP2

∴QP=AP=QB+BP=PC+PB,

∴AP=PC+PB,

（2）解:連接OA,將△OAC繞點O順時針旋轉90°至△QAB,連接OB,OQ,

∵AB⊥AC,

∴∠BAC＝90°.

由旋轉可得　QB=OC.AQ=OA.∠QAB＝∠OAC.

∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°.

∴在Rt△OAQ中.OQ=3,AO=3,

∴在△OQB中,BQ≥OQ－OB=3－3,

即OC最小值是3－3,

（3）如圖中,作AQ⊥OA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB,

∵∠QAO=∠BAC=90°,
∠QAB=∠OAC,
∵,
∴△QAB∽△OAC,
∴BQ=OC,

BQ最小時,OC最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ-OB,
∴OQ≥2,
∴BQ的最小值為2,
∴OC的最小值為,故答案為.

點睛: 本題考查圓綜合題,全等三角形的判定和性質,相似三角形的判定和性質,等腰直角三角形的判定和性質,勾股定理,三角形的三邊關系等知識,解題的關鍵是學會利用旋轉法添加常用輔助線,構造全等三角形或相似三角形解決問題,屬于中考壓軸題.