Question

今年，重慶啟動“兩翼”農戶萬元增收工程，使農戶純收入在2009年的基礎上戶均增加1萬元，某縣種植了一種無公害蔬菜，該縣決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規定每種植一畝這種蔬菜一次性補貼菜農若干元，隨著補貼數額的不斷增大，生產規模也不斷增加，但每畝蔬菜的收益會相應降低．經調查，種植畝數y（畝）、每畝蔬菜的收益z（元）與補貼數額x（元）之間的關系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（畝）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分別求出政府補貼政策實施后種植畝數y、每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的函數關系式；
（2）要使全縣這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應將每畝補貼數額x定為多少？并求出總收益w的最大值和此時種植畝數．
（3）在取得最大收益的情況下，為了滿足市場需求，用不超過70畝的土地對這種蔬菜進行反季節的種植．為此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每畝的為650元，此外還要購置噴灌設備，這項費用（元）與大棚面積（畝）的平方成正比例，比例系數為25．這樣，修建大棚后的這部分土地每畝的平均收益比沒修前增加了2000元，在扣除修建費后總共增加了85000元．求修建了多少畝蔬菜大棚？（結果精確到個位，參考數據：1.414）

Answer 1

解：（1）設y=kx+b，由圖象顯然b=800，將點（100，1600），
代入y=kx+800，1600=k×100+800，
解得：k=8
故y=8x+800，
同理：設z=ax+c，由圖象顯然c=3000，將點（100，2700），
代入z=ax+3000，2700=a×100+3000，
解得：a=-3，
z=-3x+3000；

（2）∵w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24x²+21600x+2400000，
∴w=-24（x-450）²+7260000，
故每畝應補貼x=450元，w的最大值為7260000元，
此時y=8×450+800=4400畝；

（3）設修建了m畝蔬菜大棚，原來每畝的平均收益為=1650元，
由題意得方程：（1650+2000）m-650m-25m²=85000，
解得m₁=60+10≈74，m₂=60-10≈46，
∵0＜m≤70，
∴m≈46．
答：修建了46畝蔬菜大棚．
分析：（1）根據圖標提供的數據可以分別求出種植畝數y、每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的一次函數關系式；
（2）根據（1）中z與x，以及y與x之間的關系，可以求出w與x之間的函數關系式，再根據二次函數最值求法求出即可；
（3）設修建了m畝蔬菜大棚，列方程解出m值．
點評：此題主要考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，題目綜合性較強，認真分析表示出各部分建筑費，從而根據扣除修建費后總費用是85000元從而求出是解決問題的關鍵．