Question

（2011•營口）已知正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立．
（1）如圖（1），當點P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關系？（直接寫出結論不必證明）；
（2）如圖（2），當點P運動到CA的延長線上時，（1）中猜想的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；
（3）如圖（3），當點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖（3）畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關系？（直接寫出結論不必證明）

Answer 1

分析：（2）根據正方形的性質和全等三角形的判定證△PDC≌△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°-∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度數即可；
（1）和（3）證法與（2）類似．

解答：（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．

（2）解：（1）中的結論成立．
①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又　PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．

（3）解：如圖所示：

結論：①PE=PB，②PE⊥PB．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，垂線等知識點，解此題的關鍵是求出PD=PB和∠PEC+∠PBC=180°，題目比較典型，難度適中，通過做此題培養了學生的觀察能力和分析問題的能力．