Question

【題目】如圖，四邊形APBC是圓內接四邊形，∠APB=120°，PC平分∠APB，AP，CB的延長線相交于點D．

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=2

①求PD的長．

②圖中弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積為　　（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①4；②3﹣π．

【解析】分析：（1）根據角平分線的定義結合∠APB=120°可得出∠BPC=60°，利用圓周角定理可求出∠BAC=60°，再根據圓內接四邊形的性質可得出∠ACB=60°，由此即可證出△ABC是等邊三角形；

（2）①通過解含30度角的直角三角形可求出AP、AD的長度，二者做差即可得出PD的長；

②根據圓內接四邊形的性質找出∠PBC=90°，取PC的中點O，連接OB，過點O作OE⊥BC于點E，利用分割圖形求面積法即可求出弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積．

本題解析：

（1）證明：∵∠APB=120°，PC平分∠APB，

∴∠BPC=∠APC=∠APB=60°，

∴∠BAC=∠BPC=60°．

∵四邊形APBC是圓內接四邊形，∠APB=120°，

∴∠ACB=180°﹣∠APB=60°，

∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：①在Rt△PAC中，∠APC=60°，∠PAC=90°，AC=AB=2，

∴∠PCA=30°，

∴PC=2PA．

∵PC2=PA2+AC2，

∴PA=2，PC=4．

同理，可求出CD=4，AD=6，

∴PD=AD﹣PA=4．

②∵∠PAC=90°，四邊形APBC是圓內接四邊形，

∴∠PBC=90°．

取PC的中點O，連接OB，過點O作OE⊥BC于點E，如圖所示，

∴PO=PC=2，OE=PB=PA=1，

∴弧BP和線段DP、BD組成的圖形面積=S△PCD﹣S△OBC﹣S扇形POB=×4×2﹣×2×1﹣π×22=3﹣π．

故答案為：3﹣π．