Question

【題目】將一副三角板的直角重合放置，如圖1所示，

(1)圖1中∠BED的度數為　　；

(2)三角板△AOB的位置保持不動，將三角板△COD繞其直角頂點O順時針方向旋轉：

①當旋轉至圖2所示位置時，恰好OD∥AB，求此時∠AOC的大小；

②若將三角板△COD繼續繞O旋轉，直至回到圖1位置，在這一過程中，是否會存在△COD其中一邊能與AB平行？如果存在，請你畫出圖形，并直接寫出相應的∠AOC的大小；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）①30°；②120°，165°，30°，150°，60°，15°.

【解析】

（1）根據三角形的外角性質和對頂角的性質求出∠BED的度數；

（2）①由OD∥AB可得∠BOD=∠B=30°，再由∠BOD+∠BOC=90°和∠AOC+∠BOC=90°求出∠AOC的度數；②根據題意作圖，可分6種情況進行分析求解.

（1）∵∠CEA=∠BAO-∠C=60°-45°=15°，

∴∠BED=∠CEA=15°，

（2）①∵OD∥AB,

∴∠BOD=∠B=30°

又∠BOD+∠BOC=90°和∠AOC+∠BOC=90°

∴∠AOC=∠BOD=30°；

②存在，如圖1，∵AB∥CO，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠B=120°；

如圖2，延長AO交CD于E，

∵AB∥DC,∴∠DEO=∠A=60°，又∠C=45°，∴∠COE=∠DEO-∠C=15°，

∴∠AOC=180°-∠COE=165°；

如圖3，∵AB∥DO，

∴∠A+∠AOD=180°，

∵∠A=60°

∴∠AOD=120°

∴∠AOC=∠AOD-∠COD=30°；

如圖4，∵AB∥DO，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=∠BAO+∠COD=60°+90°=150°

如圖5，∵AB∥CO，∴∠AOC=∠BAO =60°

如圖6，

設AO與CD相交于點M

∵AB∥CD，

∴∠DMO=∠A=60°

∴∠AOD=180°-45°-60°=75°，

∴∠AOC=90°-∠AOD =15°.