Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC．

（1）若點C在反比例函數y= 的圖象上，求該反比例函數的解析式；
（2）點P（2 ，m）在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，當△PAD與△OAB相似時，P點是否在（1）中反比例函數圖象上？如果在，求出P點坐標；如果不在，請加以說明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣ x+1中，令y=0可解得x= ，令x=0可得y=1，

∴A（ ，0），B（0，1），

∴tan∠BAO= = = ，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，

∴AC=2，

∴C（ ，2），

∵點C在反比例函數y= 的圖象上，

∴k=2× =2 ，

∴反比例函數解析式為y=

（2）

解：∵P（2 ，m）在第一象限，

∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = ，PD=m，

當△ADP∽△AOB時，則有 = ，即 = ，解得m=1，此時P點坐標為（2 ，1）；

當△PDA∽△AOB時，則有 = ，即 = ，解得m=3，此時P點坐標為（2 ，3）；

把P（2 ，3）代入y= 可得3≠ ，

∴P（2 ，3）不在反比例函數圖象上，

把P（2 ，1）代入反比例函數解析式得1= ，

∴P（2 ，1）在反比例函數圖象上；

綜上可知P點坐標為（2 ，1）

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B坐標，在Rt△AOB中，利用三角函數定義可求得∠BAO=30°，且可求得AB的長，從而可求得CA⊥OA，則可求得C點坐標，利用待定系數法可求得反比例函數解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO兩種情況，分別利用相似三角形的性質可求得m的值，可求得P點坐標，代入反比例函數解析式進行驗證即可．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．