Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線MN過點A，且MN∥BC，點D是直線MN上一點，不與點A重合．若點E是線段AB上一點，且DE＝DA．

（1）請說明線段DE⊥DA．

（2）如圖2，連接BD，過點D作DP⊥DB交線段AC于點P，請判斷線段DB與DP的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DB＝DP，理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠B=45°，根據平行線的性質、垂直的定義證明；

（3）利用ASA定理證明△BDF≌△PDA，根據全等三角形的性質證明即可；

解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°.

∵MN∥BC，

∴∠DAE＝∠B＝45°.

∵DA＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE＝45°，

∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠DAE＝90°，

∴DE⊥DA.

(2)DB＝DP.

理由如下：∵DP⊥DB，

∴∠BDE＋∠EDP＝90°.

由(1)知DE⊥DA，

∴∠ADP＋∠EDP＝90°，

∴∠BDE＝∠ADP.

∵∠DEA＝∠DAE＝45°，

∴∠BED＝180°－45°＝135°，∠DAP＝∠DAE＋∠BAC＝135°，

∴∠BED＝∠DAP.

在△DEB和△DAP中，

，

∴△DEB≌△DAP(ASA)，

∴DB＝DP.