Question

【題目】如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2＜x＜4）．
（1）當x= 時，求弦PA、PB的長度；
（2）當x為何值時，PDCD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，

∴AB⊥l，又∵PC⊥l，

∴AB∥PC，

∴∠CPA=∠PAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，又PC⊥l，

∴∠PCA=∠APB=90°，

∴△PCA∽△APB，

∴ ，即PA2=PCAB，

∵PC= ，AB=4，

∴PA= = ，

∴Rt△APB中，AB=4，PA= ，

由勾股定理得：PB= =

（2）解：過O作OE⊥PD，垂足為E，

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，

∴PE=ED，

又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四邊形OACE為矩形，

∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，

∴PD=2（x﹣2），

∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，

∴PDCD=2（x﹣2）（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，

∵2＜x＜4，

∴當x=3時，PDCD的值最大，最大值是2．

【解析】（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據切線的性質得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對內錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長代入求出PA的長，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長；（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點，再由三個角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的長表示出PE，根據PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數，配方后根據自變量x的范圍，利用二次函數的性質即可求出所求式子的最大值及此時x的取值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和勾股定理的概念，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．