Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（﹣4，0），B（1，0），交y軸于C點，且OC=2OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上找點D，使△ABD為以AB為腰的等腰三角形，求D點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在異于B的點P，過P點作PQ⊥AC于Q，使△APQ與△ABC相似？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（1，0），OC=2OB，

∴C（0，﹣2），

設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

把C（0，﹣2）代入得a4（﹣1）=﹣2，解得a= ，

∴拋物線的解析式為y= （x+4）（x﹣1），即y= x2+ x﹣2

（2）解：AB=1﹣（﹣4）=5，

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B（1，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=2x﹣2，

設D（m，2m﹣2），

∵△ABD為以AB為腰的等腰三角形，

∴BD=BA=5或AD=AB=5，

當BD=BA時，即（m﹣1）2+（2m﹣2）2=52，解得m1=1+ ，m2=1﹣ ，此時D點坐標為（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），

當AD=AB時，即（m+4）2+（2m﹣2）2=52，解得m1=1（舍去），m2=﹣1，此時D點坐標為（﹣1，﹣4），

綜上所述，滿足條件的D點坐標為（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），（﹣1，﹣4）

（3）解：AB2=25，BC2=12+22=5，AC2=42+22=20，

∵AB2=BC2+AC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，

∵∠BAC=∠CAO，

∴△ACO∽△ABC，

∵△APQ與△ABC相似，

∴∠CAP=∠OAC，

∴AC平分∠BAP，

設直線AP交y軸于E，作CF⊥AE于F，

則CF=CO=2，

∵∠CEF=∠AEO，

∴△ECF∽△EAO，

∴ = = = ，

在Rt△AOE中，∵OE2+OA2=AE2，

∴（2+CE）2+422，解得CE=﹣2（舍去）或CE= ，

∴E（0，﹣ ），

設直線AE的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0），E（0，﹣ ）得 ，解得 ，

∴直線AE的解析式為y=﹣ x﹣ ，

解方程組 ，解得 或 ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】根據OC=2OB．及點B的坐標就可以求出點C的坐標，注意：點C在y軸的負半軸，A、B兩點坐標是此拋物線與x軸的兩交點坐標，因此設函數解析式為兩根式，代入點的坐標即可求出此拋物線的函數解析式。
（2）先求出AB的長及直線BC的函數解析式，抓住點D在直線BC上，設出點D的坐標，是以AB為腰的等腰三角形。再分類討論。當BD=BA時和當AD=AB時，建立方程求解，即可求出滿足條件的點D的坐標。
（3）要求點p的坐標，點P是直線AP與拋物線的交點坐標，解決此題的關鍵就是要求出直線AP的函數解析式。因此設直線AP交y軸于E，作CF⊥AE于F，，求出點E的坐標即可。根據已知條件易得到 △ ABC是直角三角形，從而得到△ACO∽△ABC，由△APQ與△ABC相似，得出AC平分∠BAP。根據角平分線的性質，得到CF=CO，再證明△ECF∽△EAO，求出CE和AE的數量關系，根據勾股定理就可以求出CE的長，即可得到點E的坐標，即可求出直線AE的解析式，再求出兩函數圖像的交點坐標即可得出結果。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．