Question

【題目】如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC=6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M．

（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB
（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．
①問：﹣的值是否發生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由．
②設菱形OMPQ的面積為S1 ， △NOC的面積為S2 ， 求的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）過P作PE⊥OA于E，

∵PQ∥OA，PM∥OB，

∴四邊形OMPQ為平行四邊形，

∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，

∴PE=PMsin60°=，ME=，

∴CE=OC﹣OM﹣ME=，

∴tan∠PCE==，

∴∠PCE=30°，

∴∠CPM=90°，

又∵PM∥OB，

∴∠CNO=∠CPM=90°，

則CN⊥OB

（2）

解：

①﹣的值不發生變化，理由如下：

設OM=x，ON=y，

∵四邊形OMPQ為菱形，

∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，

∵PQ∥OA，

∴∠NQP=∠O，

又∵∠QNP=∠ONC，

∴△NQP∽△NOC，

∴=，即=，

∴6y﹣6x=xy．兩邊都除以6xy，得﹣=，即﹣=．

②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，

則S1=OMPE，S2=OCNF，

∴=．

∵PM∥OB，

∴∠PMC=∠O，

又∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO，

∴==，

∴==﹣（x﹣3）2+，

∵0＜x＜6，

則根據二次函數的圖象可知，0＜≤．

【解析】（1）過P作PE⊥OA于E，利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等，對角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，進而求出PE與ME的長，得到CE的長，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函數值求出∠PCE的度數，得到PM于NC垂直，而PM與ON平行，即可得到CN與OB垂直；
（2）﹣的值不發生變化，理由如下：設OM=x，ON=y，根據OMPQ為菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根據平行得到三角形NQP與三角形NOC相似，由相似得比例即可確定出所求式子的值；
②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面積為S1 ， △NOC的面積為S2 ， 得到，由PM與OB平行，得到三角形CPM與三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．