Question

【題目】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點D是直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），連接CE．

（1）在圖1中，當點D在邊BC上時，求證：BC=CE+CD；

（2）在圖2中，當點D在邊BC的延長線上時，結論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請猜想BC、CE、CD之間存在的數量關系，并說明理由；

（3）在圖3中，當點D在邊BC的反向延長線上時，補全圖形，不需寫證明過程，直接寫出BC、CE、CD之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不成立，存在的數量關系為CE=BC+CD．理由見解析；（3）結論：CD=BC+EC．

【解析】

（1）在△ABD和△ACE中，由，得△ABD≌△ACE（SAS），所以，BD=CE，

可得BC=BD+CD=CE+CD；

（2）不成立，存在的數量關系為CE=BC+CD．同（1）△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，所以BD=BC+CD，即CE=BC+CD；

（3）同（1）證△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，所以CD=BC+BD=BC+CE.

（1）如圖1中，

∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，

∴∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=CE+CD；

（2）不成立，存在的數量關系為CE=BC+CD．

理由：如圖2，由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴BD=BC+CD，

∴CE=BC+CD；

（3）如圖3，結論：CD=BC+EC．

理由：由（1）同理可得，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴CD=BC+BD=BC+CE，